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タイトルはThe Offspring の「All I Want」

昨日カラオケで歌った♪


こないだ貼った問題、学校でもやってみたらKYとか三人が解けず

調子乗ってたらλに模範解答で解かれた

化学を三十分使って作った問題なのに…

まぁでもこれで一人は解けたんで悪問→難問に格上げ(良問だとは思いません)

てことで解答を追記に…

問題:(1)三次方程式x^3-2ax^2+bx-c=0(a、b、cは自然数)は相異なる3つの素数解をもち、b>cをみたす。このとき、a、b、cを求めよ。
(2)四次方程式x^4-2px^3+qx^2-rx+2s=0(p、q、r、sは自然数)は相異なる3つの素数解のみをもち、r<3(q-4p+4)をみたす。p、q、r、sを求めよ。



<作成者よりひとこと>
方程式なんだから「解三つが…」とか言われたら「解と係数の関係」を考えるか、少なくとも「解を文字でおく」ことは必要でしょう。ポイントは「素数=2または奇数」です。

<解答>
(1)3つの素数解をα、β、γとおく。(α<β<γは自然数)
解と係数の関係より、
α+β+γ=2a
ここで、α、β、γ≠2なら、素数条件よりこれらは全て奇数となり、3つの和が偶数になることに矛盾。
よって、3解のいずれかは2であり、2は最小の素数より、α=2

∴解と係数の関係とα=2より、
2(β+γ)+βγ=b
2βγ=c
∴b>cより2(β+γ)>βγ
(以下は普通の整数問題で、これを満たすのはβ=3、γ=5のみです。そして解と係数の関係に代入)
答え:a=10b=31c=30

(2)四つの解をt、u、w、wとすると(t、u、wは素数)
同様に、解と係数の関係から
tuww=2s
より、素数の積が偶数になるので、うち1つは2

このとき、与式がx-2で割り切れるので、因数分解すると
(x-2)(x^3-fx^2+gx^1-h)=0(f、g、hはp、q、rの式)←省略してます

ここでf-g=3(q-4p+4)-r>0より、f>gであり、(1)に帰着できて

(与式)⇔(x-2)(x-2)(x-3)(x-5)=0

なので、これを展開すればp、q、r、sが求まる。


<感想>
疲れた…。

我ながらよくこんなの思いついたもんだ

感想などあれば気軽にどうぞ♪
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